Формальная логика

Формальная логика , абстрактное изучение предложений, утверждений или утверждительно используемых предложений и дедуктивных аргументов. Дисциплина абстрагируется от содержания этих элементов структур или логических форм, которые они воплощают. Логики обычно используют символические обозначения для четкого и недвусмысленного выражения таких структур, а также для упрощения манипуляций и тестов на достоверность. Хотя в нижеследующем обсуждении свободно используются технические обозначения современной символической логики, ее символы вводятся постепенно и с сопровождающими пояснениями, так что серьезный и внимательный читатель должен иметь возможность следить за развитием идей.

Формальная логика - это априорное, а не эмпирическое исследование. В этом отношении он контрастирует с естественными науками и всеми другими дисциплинами, данные которых зависят от наблюдения. Его ближайшая аналогия - чистая математика; действительно, многие логики и чистые математики сочли бы свои соответствующие предметы неразличимыми или просто двумя ступенями одной и той же единой дисциплины. Таким образом, формальную логику не следует путать с эмпирическим изучением процессов мышления, которое принадлежит психологии. Его также следует отличать от искусства правильного рассуждения, которое представляет собой практический навык применения логических принципов к конкретным случаям; и, что еще более резко, его следует отличать от искусства убеждения, в котором неверные аргументы иногда более эффективны, чем веские.

Общие наблюдения

Вероятно, наиболее естественный подход к формальной логике основан на идее обоснованности аргумента, известного как дедуктивный. Дедуктивный аргумент можно грубо охарактеризовать как аргумент, в котором утверждается, что какое-то предложение (вывод) следует со строгой необходимостью из другого предложения или предложений (предпосылок), т. Е. Что было бы непоследовательным или самопротиворечивым утверждать посылки, но отрицаю заключение.

Если дедуктивный аргумент должен преуспеть в установлении истинности своего заключения, должны быть выполнены два совершенно разных условия: во-первых, вывод должен действительно вытекать из посылок, т. Е. Вывод заключения из посылок должен быть логически правильным, и , во-вторых, сами посылки должны быть верными. Аргумент, удовлетворяющий обоим этим условиям, называется обоснованным. Из этих двух условий логик как таковой занимается только первым; второй, определение истинности или ложности предпосылок, является задачей некой специальной дисциплины или общего наблюдения, соответствующего предмету аргументации. Когда вывод аргумента правильно выводится из его посылок, вывод из посылок к заключению считается (дедуктивно) достоверным, независимо от того, истинны ли посылки.Другие способы выразить тот факт, что вывод является дедуктивно достоверным, - это сказать, что истинность посылок дает (или дала бы) абсолютную гарантию истинности вывода или что это повлечет за собой логическую несогласованность (в отличие от простой ошибка факта), чтобы предположить, что посылки верны, а вывод - ложен.

Дедуктивные умозаключения, с которыми связана формальная логика, как следует из названия, являются те, для которых достоверность зависит не от каких-либо особенностей их предмета, а от их формы или структуры. Таким образом, два вывода: (1) Каждая собака - млекопитающее. Некоторые четвероногие - собаки. ∴ Некоторые четвероногие являются млекопитающими. и (2) Каждый анархист верит в свободную любовь. Некоторые члены правительственной партии - анархисты. ∴ Некоторые члены правительственной партии верят в свободную любовь. различаются по предмету и, следовательно, требуют различных процедур для проверки истинности или ложности своих предпосылок. Но их действие обеспечивается за счет того, что у них общего, а именно, что аргумент в каждой имеет вид (3) Каждый X является Y . Некоторые Z - X«S. ∴ Некоторые Z «s являются Y «s.

Строку (3) выше можно назвать формой вывода, а (1) и (2) тогда являются экземплярами этой формы вывода. Буквы X , Y и Z в (3) обозначают места, в которые могут быть вставлены выражения определенного типа. Символы, используемые для этой цели, известны как переменные; их использование аналогично использованию xв алгебре, который отмечает место, в которое может быть вставлено число. Экземпляр формы вывода создается путем замены всех переменных в ней соответствующими выражениями (т. Е. Тех, которые имеют смысл в контексте) и путем выполнения этого единообразно (т. Е. Путем замены одного и того же выражения везде, где повторяется одна и та же переменная). Особенность (3), которая гарантирует, что каждый его экземпляр будет действительным, заключается в его построении таким образом, что каждый единообразный способ замены его переменных, чтобы сделать посылки истинными, автоматически делает и вывод истинным, или, другими словами, что ни один его пример не может иметь истинных предпосылок, кроме ложного заключения. В силу этой особенности форма (3) называется действительной формой вывода. В противоположность этому , (4) Каждый Х представляет собой Y . Некоторые Z«s являются Y «s. ∴ Some Заболоцкого «s являются X «s. не является действительной формой вывода, поскольку, хотя могут быть получены его примеры, в которых все предпосылки и заключение верны, могут быть также получены его примеры, в которых предпосылки истинны, но заключение ложно - например, (5) собака - млекопитающее. Некоторые крылатые существа - млекопитающие. ∴ Некоторые крылатые существа - собаки.

Формальная логика как исследование имеет дело с формами вывода, а не с их конкретными примерами. Одна из его задач - различать действительные и недействительные формы вывода, а также исследовать и систематизировать отношения, существующие между действительными.

Идея действительной формы вывода тесно связана с идеей действительной формы предложения. Форма предложения - это выражение, экземпляры которого (созданные, как и раньше, соответствующими и единообразными заменами переменных) не являются выводами из нескольких предложений к заключению, а скорее предложениями, взятыми индивидуально, а допустимая форма предложения - это такая, для которой все экземпляры истинные суждения. Простой пример: (6) Ничто не является одновременно X и не- X, Формальная логика имеет дело как с формами предложений, так и с формами вывода. Фактически, изучение форм высказывания может быть включено в исследование форм вывода следующим образом: пусть посылки любой данной формы вывода (вместе взятые) будут обозначены аббревиатурой альфа (α), а ее заключение - бета (β). , Тогда указанное выше условие действительности формы вывода «α, следовательно, β» сводится к утверждению, что ни один экземпляр формы высказывания «α и не-β» не является истинным, т. Е. Что каждый экземпляр формы высказывания (7) Не то и другое: α и не-β истинны - или эта строка (7), полностью прописанная, конечно, является допустимой формой предложения. Однако изучение форм предложения не может быть подобным образом приспособлено к изучению форм вывода.и поэтому из соображений полноты формальная логика обычно рассматривается как изучение форм предложений. Поскольку работа логика с формами предложений во многом аналогична работе математика с числовыми формулами, системы, которые он конструирует, часто называют исчислениями.

Большая часть работы логика проходит на более абстрактном уровне, чем в предыдущем обсуждении. Даже формула, такая как (3) выше, хотя и не относится к какому-либо конкретному предмету, но содержит такие выражения, как «каждый» и «является а», которые считаются имеющими определенное значение, а переменные предназначены для обозначения мест для выражений одного вида (грубо говоря, нарицательные существительные или названия классов). Однако возможно - а для некоторых целей это необходимо - изучать формулы, не придавая им даже такой степени значимости. Построение логической системы, по сути, включает два различных процесса: первый состоит в создании символического аппарата - набора символов, правил для объединения их в формулы и правил для манипулирования этими формулами;второй заключается в придании этим символам и формулам определенного значения. Если сделано только первое, система считается неинтерпретируемой или чисто формальной; если последнее также выполняется, говорят, что система интерпретируется. Это различие важно, потому что системы логики обладают определенными свойствами совершенно независимо от любых интерпретаций, которые им могут быть наложены. В качестве примера можно взять аксиоматическую систему логики, т. Е. Систему, в которой определенные недоказанные формулы, известные как аксиомы, принимаются в качестве отправных точек, а дальнейшие формулы (теоремы) доказываются на их основе. Как появится позже (потому что системы логики, как оказывается, обладают определенными свойствами совершенно независимо от любых интерпретаций, которые им могут быть наложены. В качестве примера можно взять аксиоматическую систему логики, т. Е. Систему, в которой определенные недоказанные формулы, известные как аксиомы, принимаются в качестве отправных точек, а дальнейшие формулы (теоремы) доказываются на их основе. Как появится позже (потому что системы логики, как оказывается, обладают определенными свойствами совершенно независимо от любых интерпретаций, которые им могут быть наложены. В качестве примера можно взять аксиоматическую систему логики, т. Е. Систему, в которой определенные недоказанные формулы, известные как аксиомы, принимаются в качестве отправных точек, а дальнейшие формулы (теоремы) доказываются на их основе. Как появится позже (увидеть нижеАксиоматизация ПК), вопрос о том, является ли последовательность формул в аксиоматической системе доказательством или нет, зависит исключительно от того, какие формулы принимаются в качестве аксиом и каковы правила вывода теорем из аксиом, а вовсе не от того, какие теоремы или аксиомы означают. Более того, данная неинтерпретируемая система, как правило, может быть одинаково хорошо интерпретирована множеством различных способов; следовательно, при изучении неинтерпретируемой системы изучается структура, которая является общей для множества интерпретируемых систем. Обычно логик, конструирующий чисто формальную систему, действительно имеет в виду определенную интерпретацию, и его мотивом для построения этого является вера в то, что, когда ему дается такая интерпретация, формулы системы смогут выражать истинные принципы в некоторой области. мысли; но по указанным выше причинам, среди прочего,он обычно заботится о том, чтобы описать формулы и сформулировать правила системы без ссылки на интерпретацию и указать в качестве отдельного вопроса интерпретацию, которую он имеет в виду.

Многие из идей, используемых при изложении формальной логики, в том числе упомянутые выше, поднимают проблемы, которые относятся скорее к философии, чем к самой логике. Примеры: Каков правильный анализ понятия истины? Что такое суждение и как оно связано с предложением, которым оно выражено? Существуют ли какие-то здравые рассуждения, которые не являются ни дедуктивными, ни индуктивными? К счастью, можно научиться заниматься формальной логикой, не получив удовлетворительных ответов на такие вопросы, так же как можно заниматься математикой, не отвечая на вопросы, относящиеся к философии математики, такие как: являются ли числа реальными объектами или умственными конструкциями?